Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (2 x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (2 x) = - \sqrt{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (2 x) = - \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (2 x) = - \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{8}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{8} + π$

Schritt 9.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Schritt 9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{8}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$