Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (2 x) \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\sin (x) \cos (x)) \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 1.3

Multipliziere $4 \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 1.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) (4 \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 3 \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) (4 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (4 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 3$ heraus.

$\cos (x) (4 \sin^{2} (x) - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $4 \sin^{2} (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $4 \sin^{2} (x) - 3$ gleich $0$ .

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{2} (x) = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.7

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.7.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinfache $π - \frac{π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 5.2.7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.8

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 5.2.8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 5.2.8.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 5.2.8.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 5.2.8.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.8.6.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.8.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.8.6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.6.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 5.2.8.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 5.2.8.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.2.8.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.10

Fasse die Lösungen zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.10.1

Führe $\frac{π}{3} + 2 π n$ und $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.10.2

Führe $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ und $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ zu $\frac{2 π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (4 \sin^{2} (x) - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$