Trigonometrie Beispiele

$\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} ((x - 5) (x + 1)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 5) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{7} (x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 (x + 1)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5) = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $x$ .

$\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$7^{1} = x^{2} - 4 x - 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 4 x - 5 = 7^{1}$ um.

$x^{2} - 4 x - 5 = 7$

Schritt 3.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 5 - 7 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $7$ von $- 5$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 6$