Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$u^{2} - 2 u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 2 u$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 2 u = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 2$ heraus.

$u (u - 2) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x) - 2$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 2$

Schritt 4.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (\sin (x) - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$