Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - 1$ .

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Schritt 2.1

Bewege $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$- 1 + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$- (1 - \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $- \cos^{2} (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm 0$

Schritt 3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.7

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.7.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$