Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sec (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

$\sec (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\sec (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sec (x) - 2$ gleich $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sec (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = 2$

Schritt 3.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (2)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 3.2.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sec (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sec (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sec (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $arcsec (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.4

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - π$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$