Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3 x + 16} = x + 2$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x + 16}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 16}$ als ${(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x + 16)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 x + 16 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$3 x + 16 = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 16 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x + 16 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x + 16 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x + 16 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$3 x + 16 = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 4 = 3 x + 16$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 - 3 x = 16$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$x^{2} + x + 4 = 16$

Schritt 3.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x + 4 - 16 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.8

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 x + 16} = x + 2$ nicht erfüllen.

$x = 3$