Trigonometrie Beispiele

$7^{x - 2} = 5^{x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (7^{x - 2}) = \ln (5^{x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (7^{x - 2})$ durch Herausziehen von $x - 2$ aus dem Logarithmus.

$(x - 2) \ln (7) = \ln (5^{x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$(x - 2) \ln (7) = x \ln (5)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x - 2) \ln (7)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 2) \ln (7) = x \ln (5)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 2) \ln (7) = x \ln (5)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (7) - 2 \ln (7) = x \ln (5)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $x \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (7) - 2 \ln (7) - x \ln (5) = 0$

Schritt 4.3

Addiere $2 \ln (7)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (7) - x \ln (5) = 2 \ln (7)$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (7) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (7)$ heraus.

$x (\ln (7)) - x \ln (5) = 2 \ln (7)$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (7)) + x (- 1 \ln (5)) = 2 \ln (7)$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (7)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (7) - 1 \ln (5)) = 2 \ln (7)$

Schritt 4.5

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (\ln (7) - \ln (5)) = 2 \ln (7)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (7) - \ln (5)) = 2 \ln (7)$ durch $\ln (7) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (7) - \ln (5)) = 2 \ln (7)$ durch $\ln (7) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (7) - \ln (5))}{\ln (7) - \ln (5)} = \frac{2 \ln (7)}{\ln (7) - \ln (5)}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7) - \ln (5)$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (7) - \ln (5))}{\ln (7) - \ln (5)} = \frac{2 \ln (7)}{\ln (7) - \ln (5)}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 \ln (7)}{\ln (7) - \ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2 \ln (7)}{\ln (7) - \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 11.56654212 \dots$