Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) - 9 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 9 u - 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 9$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $81$ und $4$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$

$\cos (x) = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

Schritt 8

Löse in $\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{9 + \sqrt{85}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 9

Löse in $\cos (x) = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{9 - \sqrt{85}}{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\arccos (\frac{9 - \sqrt{85}}{2})$ .

$x = 1.68079021$

Schritt 9.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.68079021$

Schritt 9.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.68079021$

Schritt 9.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.68079021$ .

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Schritt 9.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.68079021$

Schritt 9.4.2.2

Subtrahiere $1.68079021$ von $6.2831853$ .

$x = 4.60239508$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.68079021 + 2 π n, 4.60239508 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.68079021 + 2 π n, 4.60239508 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$