Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) = \frac{4}{25}$

Schritt 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{25}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{2}{5}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{2}{5}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{2}{5}$

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

Schritt 5

Löse in $\cos (x) = \frac{2}{5}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{2}{5})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Berechne $\arccos (\frac{2}{5})$ .

$x = 1.15927948$

Schritt 5.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.15927948$

Schritt 5.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.15927948$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.15927948$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.15927948$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $1.15927948$ von $6.2831853$ .

$x = 5.12390582$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.15927948 + 2 π n, 5.12390582 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Löse in $\cos (x) = - \frac{2}{5}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{2}{5})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{2}{5})$ .

$x = 1.98231317$

Schritt 6.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.98231317$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.98231317$

Schritt 6.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.98231317$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.98231317$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $1.98231317$ von $6.2831853$ .

$x = 4.30087213$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.98231317 + 2 π n, 4.30087213 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.15927948 + 2 π n, 5.12390582 + 2 π n, 1.98231317 + 2 π n, 4.30087213 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Führe $1.15927948 + 2 π n$ und $4.30087213 + 2 π n$ zu $1.15927948 + π n$ zusammen.

$x = 1.15927948 + π n, 5.12390582 + 2 π n, 1.98231317 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.2

Führe $5.12390582 + 2 π n$ und $1.98231317 + 2 π n$ zu $1.98231317 + π n$ zusammen.

$x = 1.15927948 + π n, 1.98231317 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$