Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} - e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ um.

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

Schritt 3.2

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Schritt 3.3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

Schritt 3.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

Schritt 3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

Schritt 3.5

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 3.5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 3.5.2

Multipliziere jeden Term in $4 u - \frac{4}{u} = 1$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Multipliziere jeden Term in $4 u - \frac{4}{u} = 1$ mit $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

Schritt 3.5.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{u}$ in den Zähler.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Schritt 3.5.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Schritt 3.5.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

Schritt 3.5.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Subtrahiere $u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

Schritt 3.5.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.3.3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 1$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.4.1.3

Addiere $1$ und $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

Schritt 3.5.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Schritt 3.6

Setze $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Schritt 3.7

Löse $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ um.

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Schritt 3.7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Schritt 3.7.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Schritt 3.7.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Schritt 3.7.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Schritt 3.8

Setze $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Schritt 3.9

Löse $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ um.

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Schritt 3.9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

Schritt 3.9.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.9.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Keine Lösung

Schritt 3.10

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Dezimalform:

$x = 0.12467674 \dots$