Trigonometrie Beispiele

$0.1 = \cos (2 π t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\cos (2 π t) = 0.1$ um.

$\cos (2 π t) = 0.1$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 π t = \arccos (0.1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arccos (0.1)$ .

$2 π t = 1.4706289$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 1.4706289$ durch $2 π$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 1.4706289$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{1.4706289}{2 π}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{1.4706289}{2 π}$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π t}{π} = \frac{1.4706289}{2 π}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π t}{π} = \frac{1.4706289}{2 π}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{1.4706289}{2 π}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{1.4706289}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{1.4706289}{6.2831853}$

Schritt 4.3.3

Dividiere $1.4706289$ durch $6.2831853$ .

$t = 0.23405785$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 π t = 2 (3.14159265) - 1.4706289$

Schritt 6

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$2 π t = 6.2831853 - 1.4706289$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $1.4706289$ von $6.2831853$ .

$2 π t = 4.8125564$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 4.8125564$ durch $2 π$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 π t = 4.8125564$ durch $2 π$ .

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{4.8125564}{2 π}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π t}{2 π} = \frac{4.8125564}{2 π}$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π t}{π} = \frac{4.8125564}{2 π}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π t}{π} = \frac{4.8125564}{2 π}$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{4.8125564}{2 π}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{4.8125564}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{4.8125564}{6.2831853}$

Schritt 6.2.3.3

Dividiere $4.8125564$ durch $6.2831853$ .

$t = 0.76594214$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (2 π t)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2 π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

Schritt 7.3

$2 π$ ist ungefähr $6.2831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 π}$

Schritt 7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{π}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{π}$

Schritt 7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (2 π t)$ ist $1$ , d. h., Werte werden sich alle $1$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 0.23405785 + n, 0.76594214 + n$ , für jede ganze Zahl $n$