Trigonometrie Beispiele

$4 \tan (x) \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $\frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $\frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{4 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{4 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 1.1.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{4 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{4 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{4 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.4

Dividiere $4 (\sin (x))$ durch $1$ .

$4 (\sin (x)) \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.5

Separiere Brüche.

$4 \sin (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Schritt 1.2.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$4 \sin (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Schritt 1.2.7

Dividiere $3$ durch $1$ .

$4 \sin (x) \tan (x) - (3 \tan (x)) = 0$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \sin (x) \tan (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $4 \sin (x) \tan (x) - 3 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $4 \sin (x) \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (4 \sin (x)) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- 3 \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (4 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) (4 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 3$ heraus.

$\tan (x) (4 \sin (x) - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$4 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $4 \sin (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 \sin (x) - 3$ gleich $0$ .

$4 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 \sin (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (x) = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{3}{4})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$x = 0.84806207$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

Schritt 5.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.84806207$

Schritt 5.2.6.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

Schritt 5.2.6.3

Subtrahiere $0.84806207$ von $3.14159265$ .

$x = 2.29353057$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (4 \sin (x) - 3) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n, 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Führe $π n$ und $π + π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$