Trigonometrie Beispiele

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = - \cos (x)$

Schritt 1

Ersetze die $- \sin^{2} (x)$ durch $- (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$1 - (1 - \cos^{2} (x)) = - \cos (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere $- - \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Schritt 3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Schritt 3.2

Addiere $0$ und $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Schritt 4

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} = - (u)$

Schritt 5

Addiere $u$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + u = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u + u = 0$

Schritt 6.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 1$ heraus.

$u (u + 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 8

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 9

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 0, - 1$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

Schritt 13

Löse in $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 13.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 13.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 13.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 13.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 13.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Löse in $\cos (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 14.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 14.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$