Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (x) = \sec (x)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = \sec (x)$ durch $2 \cos (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = \sec (x)$ durch $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Schritt 1.3.3

Schreibe $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.5.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Schritt 1.3.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Schritt 1.3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.6.1

Kombinieren.

$1 = \frac{1 \cdot 1}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 = \frac{1}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3.7

Multipliziere mit $1$ .

$1 = \frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Schritt 1.3.8

Separiere Brüche.

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3.9

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x)$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \sec^{2} (x)$

Schritt 1.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{\sec^{2} (x)}{2}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$ um.

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec^{2} (x) = 2 \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 8

Löse in $\sec (x) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $arcsec (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 8.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 8.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 8.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 8.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Löse in $\sec (x) = - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 9.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 9.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 9.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 9.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$