Trigonometrie Beispiele

\csc^{2} (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 1

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

\csc^{2} (x) = 2

$\csc^{2} (x) = 2$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

\csc (x) = \pm \sqrt{2}

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

x

$x$ aufzulösen.

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 5

Löse in

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

x = arccsc (\sqrt{2})

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von

arccsc (\sqrt{2})

$arccsc (\sqrt{2})$ ist

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.3

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.4

Vereinfache

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.4.1

π

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.4.2.1

Kombiniere

π

$π$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.1

Bringe

4

$4$ auf die linke Seite von

π

$π$ .

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.4.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von

\csc (x)

$\csc (x)$ .

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Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 5.6

Die Periode der Funktion

\csc (x)

$\csc (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 6

Löse in

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

x = arccsc (- \sqrt{2})

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von

arccsc (- \sqrt{2})

$arccsc (- \sqrt{2})$ ist

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ .

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{4} + π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere

2 π

$2 π$ von

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 6.4.2

Der resultierende Winkel von

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als

2 π

$2 π$ und gleich

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 6.6

Addiere

2 π

$2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.6.1

Addiere

2 π

$2 π$ zu

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

- \frac{π}{4} + 2 π

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 6.6.2

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.6.3.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.4.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

\frac{8 π - π}{4}

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 6.6.4.2

Subtrahiere

π

$π$ von

8 π

$8 π$ .

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 6.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion

\csc (x)

$\csc (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

n

$n$