Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) + 3 \cot (x) = - 2$

Schritt 1

Ersetze die $\csc^{2} (x)$ durch $\cot^{2} (x) + 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\cot^{2} (x) + 1) + 3 \cot (x) = - 2$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$\cot^{2} (x) + 3 \cot (x) + 1 = - 2$

Schritt 3

Ersetze $\cot (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) + 1 = - 2$

Schritt 4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 3 u + 1 + 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u^{2} + 3 u + 3 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\cot (x)$ .

$\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11

Löse in $\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \frac{3 - i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 11.2

The inverse cotangent of $arccot (- \frac{3 - i \sqrt{3}}{2})$ is undefined.

Undefiniert

Schritt 12

Löse in $\cot (x) = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \frac{3 + i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 12.2

The inverse cotangent of $arccot (- \frac{3 + i \sqrt{3}}{2})$ is undefined.

Undefiniert

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung