Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (- x) - 1)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $7 (\cos (- x) - 1)$ .

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Schritt 1.1.1

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (x) - 1)$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) + 7 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) - 7$

Schritt 2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $7 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) = - 7$

Schritt 2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Schritt 3

Ersetze $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ und $7$ .

$8 - \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1

Stelle die Terme um.

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 \cos (x)$ heraus.

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $- 7$ um als $1$ plus $- 8$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 8) \cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 8 (- \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.4

Setze $- \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $- \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $- \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = - 1$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Schritt 4.4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 4.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 4.4.2.6

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 4.4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.5

Setze $\cos (x) + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $\cos (x) + 8$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 8 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $\cos (x) + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 8$

Schritt 4.5.2.2

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 8$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$