Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (2 x) + \cot (2 x)}{\csc (2 x)} = \sec (2 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{\tan (2 x) + \cot (2 x)}{\csc (2 x)}$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x)}{\csc (2 x)} = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\csc (2 x)} = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (2 x)}} = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ und $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.5.2

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (2 x) \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.5.3

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (2 x)}^{1 + 1}}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) = \sec (2 x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) = \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x)) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) \frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) \cos (2 x) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 x) \frac{\sin^{2} (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) \cos (2 x) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 6

Multipliziere $\cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 6.2

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \cos (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1$

Schritt 9

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$