Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 3 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}$

$\sin (x) = 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 8

Löse in $\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\sin (x) = 1 + i \sqrt{2}$

Schritt 8.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1 + i \sqrt{2})$

Schritt 8.3

Der inverse Sinus von $\arcsin (1 + i \sqrt{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = 1 - i \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\sin (x) = 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 9.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1 - i \sqrt{2})$

Schritt 9.3

Der inverse Sinus von $\arcsin (1 - i \sqrt{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung