Trigonometrie Beispiele

$(\cot (x - 1)) (\sin (x - 1)) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (x - 1) \sin (x - 1)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x - 1)}{\sin (x - 1)} \sin (x - 1) = 0$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\cos (x - 1) = 0$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - 1 = \arccos (0)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - 1 = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + 1$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - 1 = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 1 = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - 1 = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} + 1$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (x - 1)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (x - 1)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 1 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 1 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$