Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Schritt 6.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{11 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$