Trigonometrie Beispiele

$\sec (\frac{3 x}{2}) = - \sqrt{2}$

Schritt 1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$\frac{3 x}{2} = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 (2)}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$\frac{3 x}{2} = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} (2 π - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (2 π - \frac{3 π}{4})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 (2)}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2}$

Schritt 6.2.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{8 π - 3 π}{2}$

Schritt 6.2.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{8 π - 3 π}{2}$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{6}$

Schritt 6.2.2.1.8

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sec (\frac{3 x}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{3}{2}$ ist ungefähr $1.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{3}$

Schritt 7.5

Multipliziere $2 π \frac{2}{3}$ .

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Schritt 7.5.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sec (\frac{3 x}{2})$ ist $\frac{4 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{4 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + \frac{4 π n}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{4 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$