Trigonometrie Beispiele

? 구하기 csc(x)-sin(x)=cot(x)cos(x)
Schritt 1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.1
Vereinfache .
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Schritt 2.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2.1.2
Multipliziere .
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Schritt 2.1.2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 2.1.2.3
Potenziere mit .
Schritt 2.1.2.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.2.5
Addiere und .
Schritt 3
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 7
Multipliziere .
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Schritt 7.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2
Potenziere mit .
Schritt 7.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.4
Addiere und .
Schritt 8
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 9
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 9.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 10
Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.
Schritt 11
Löse nach auf.
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Schritt 11.1
Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.
Schritt 11.2
Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.
Schritt 11.3
Löse nach auf.
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Schritt 11.3.1
Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.
Schritt 11.3.2
Bringe alle Terme, die enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 11.3.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 11.3.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.3.3
Da , ist die Gleichung immer erfüllt.
Alle reellen Zahlen
Alle reellen Zahlen
Schritt 11.4
Löse nach auf.
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Schritt 11.4.1
Bringe alle Terme, die enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 11.4.1.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 11.4.1.2
Addiere und .
Schritt 11.4.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 11.4.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 11.4.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 11.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 11.4.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.4.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 11.4.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 11.4.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 11.4.3
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 11.4.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 11.4.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 11.4.5
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 11.4.6
Vereinfache .
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Schritt 11.4.6.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 11.4.6.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 11.4.6.2.1
Kombiniere und .
Schritt 11.4.6.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.4.6.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 11.4.6.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.4.6.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.4.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 11.4.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 11.4.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 11.4.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 11.4.7.4
Dividiere durch .
Schritt 11.4.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 12
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl