Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = - 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \arctan (- 1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{- π - π}{4}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $π$ von $- π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 2 π}{4}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{4}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 (2)}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{2}$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Schritt 4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = - π$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - π}{4}$

Schritt 6.3.1.3

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

Schritt 6.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

Schritt 6.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 6.3.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $2 π$ zu $- π$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- π + 2 π$

Schritt 8.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$π$

Schritt 8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$