Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{\cos (x)}$ und $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.1.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.2.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 6

Multipliziere $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Schritt 7.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sec (x) (- \tan (x))$ und $\tan (x) \sec (x)$ neu an.

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7.1.2

Addiere $- \sec (x) \tan (x)$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7.1.3

Addiere $\sec (x) \sec (x)$ und $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Schritt 7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Schritt 7.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Schritt 7.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1$