Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 - \tan^{4} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{1 - \tan^{4} (x)}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{1 - \tan^{4} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{1^{2} - \tan^{4} (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{1^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(1 + \tan^{2} (x)) (1 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(1 + \tan^{2} (x)) (1^{2} - \tan^{2} (x))}$

Schritt 2.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(1 + \tan^{2} (x)) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Schritt 2.5

Ordne Terme um.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{(\tan^{2} (x) + 1) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Schritt 2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \tan (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sec^{2} (x) (1 - \tan (x))}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \tan (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sec^{2} (x) (1 - \tan (x))}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Schritt 4

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Schritt 5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

${(1 \cos (x))}^{2}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x)$