Trigonometrie Beispiele

${(1 - i)}^{7}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{7} + 7 \cdot 1^{6} (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 7 \cdot 1^{6} (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 7 \cdot 1 (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$1 + 7 (- i) + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$1 - 7 i + 21 \cdot 1^{5} {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 7 i + 21 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $21$ mit $1$ .

$1 - 7 i + 21 {(- i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 7 i + 21 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 7 i + 21 (1 i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 - 7 i + 21 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i + 21 \cdot - 1 + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 \cdot 1^{4} {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 7 i - 21 + 35 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 {(- i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.14

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 7 i - 21 + 35 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 (- i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 - 7 i - 21 + 35 (- (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 (- (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 (- - i) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 (1 i) + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 \cdot 1^{3} {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 \cdot 1 {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.22

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 {(- i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.23

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.24

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 (1 i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.25

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.26

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.26.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 {(i^{2})}^{2} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.26.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.26.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 \cdot 1 + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.27

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 \cdot 1^{2} {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.28

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 \cdot 1 {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.29

Mutltipliziere $21$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 {(- i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.30

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.31

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.32

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- (i^{4} i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.33

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.33.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.33.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.33.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- (1 i)) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.34

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 + 21 (- i) + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.35

Mutltipliziere $- 1$ mit $21$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 \cdot 1 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.36

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 {(- i)}^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.37

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 ({(- 1)}^{6} i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.38

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 (1 i^{6}) + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.39

Mutltipliziere $i^{6}$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 i^{6} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.40

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 (i^{4} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.41

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.41.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.41.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.41.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 (1 i^{2}) + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.42

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 i^{2} + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.43

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i + 7 \cdot - 1 + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.44

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + {(- i)}^{7}$

Schritt 2.1.45

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + {(- 1)}^{7} i^{7}$

Schritt 2.1.46

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - i^{7}$

Schritt 2.1.47

Schreibe $i^{7}$ als $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ um.

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Schritt 2.1.47.1

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (i^{4} i^{3})$

Schritt 2.1.47.2

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.48

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.48.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.48.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.48.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (1 (i^{2} \cdot i))$

Schritt 2.1.49

Mutltipliziere $i^{2} \cdot i$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (i^{2} \cdot i)$

Schritt 2.1.50

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - (- 1 \cdot i)$

Schritt 2.1.51

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 - - i$

Schritt 2.1.52

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + 1 i$

Schritt 2.1.53

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 7 i - 21 + 35 i + 35 - 21 i - 7 + i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $21$ von $1$ .

$- 20 - 7 i + 35 i + 35 - 21 i - 7 + i$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 20$ und $35$ .

$15 - 7 i + 35 i - 21 i - 7 + i$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $7$ von $15$ .

$8 - 7 i + 35 i - 21 i + i$

Schritt 2.2.3

Addiere $- 7 i$ und $35 i$ .

$8 + 28 i - 21 i + i$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $21 i$ von $28 i$ .

$8 + 7 i + i$

Schritt 2.2.5

Addiere $7 i$ und $i$ .

$8 + 8 i$