Trigonometrie Beispiele

{(1 + i)}^{5}

${(1 + i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere

5

$5$ mit

1

$1$ .

1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere

10

$10$ mit

1

$1$ .

1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.6

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere

10

$10$ mit

- 1

$- 1$ .

1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere

10

$10$ mit

1

$1$ .

1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere

i^{2}

$i^{2}$ aus.

1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.11

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.12

Schreibe

- 1 i

$- 1 i$ als

- i

$- i$ um.

1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

10

$10$ .

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.14

Mutltipliziere

5

$5$ mit

1

$1$ .

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15

Schreibe

i^{4}

$i^{4}$ als

1

$1$ um.

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Schritt 2.1.15.1

Schreibe

i^{4}

$i^{4}$ als

{(i^{2})}^{2}

${(i^{2})}^{2}$ um.

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.3

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere

5

$5$ mit

1

$1$ .

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}$

Schritt 2.1.17

Faktorisiere

i^{4}

$i^{4}$ aus.

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i$

Schritt 2.1.18

Schreibe

i^{4}

$i^{4}$ als

1

$1$ um.

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Schritt 2.1.18.1

Schreibe

i^{4}

$i^{4}$ als

{(i^{2})}^{2}

${(i^{2})}^{2}$ um.

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Schritt 2.1.18.2

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i$

Schritt 2.1.18.3

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere

10

$10$ von

1

$1$ .

- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i

$- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i$

Schritt 2.2.2

Addiere

- 9

$- 9$ und

5

$5$ .

- 4 + 5 i - 10 i + i

$- 4 + 5 i - 10 i + i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere

10 i

$10 i$ von

5 i

$5 i$ .

- 4 - 5 i + i

$- 4 - 5 i + i$

Schritt 2.2.4

Addiere

- 5 i

$- 5 i$ und

i

$i$ .

- 4 - 4 i

$- 4 - 4 i$

- 4 - 4 i

$- 4 - 4 i$

- 4 - 4 i

$- 4 - 4 i$