Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Um $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 0 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.5

Addiere $\cos^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (2 \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (2 \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$