Trigonometrie Beispiele

$\frac{i}{3 - 2 i} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{i}{3 - 2 i}$ mit der Konjugierten von $3 - 2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{i}{3 - 2 i} \cdot \frac{3 + 2 i}{3 + 2 i} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{i (3 + 2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{i \cdot 3 + i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{3 \cdot i + i (2 i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.3

Multipliziere $i (2 i)$ .

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Schritt 1.2.2.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 \cdot i + 2 (i^{1} i)}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 \cdot i + 2 (i^{1} i^{1})}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \cdot i + 2 i^{1 + 1}}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \cdot i + 2 i^{2}}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3 i + 2 \cdot - 1}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 i - 2}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.2.5

Stelle $3 i$ und $- 2$ um.

$\frac{- 2 + 3 i}{(3 - 2 i) (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere $(3 - 2 i) (3 + 2 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 + 3 i}{3 (3 + 2 i) - 2 i (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 + 3 i}{3 \cdot 3 + 3 (2 i) - 2 i (3 + 2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 + 3 i}{3 \cdot 3 + 3 (2 i) - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 3 (2 i) - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 2 i \cdot 3 - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 2 i (2 i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i i} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 (i^{1} i)} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 (i^{1} i^{1})} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i^{1 + 1}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 6 i - 6 i - 4 i^{2}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.9

Subtrahiere $6 i$ von $6 i$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 0 - 4 i^{2}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.2.10

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 - 4 i^{2}} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{- 2 + 3 i}{9 - 4 \cdot - 1} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{9 + 4} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.2.3.4

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{- 2 + 3 i}{13} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.3

Zerlege den Bruch $\frac{- 2 + 3 i}{13}$ in zwei Brüche.

$\frac{- 2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i}{3 + 8 i}$

Schritt 1.5

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{2 i}{3 + 8 i}$ mit der Konjugierten von $3 + 8 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - (\frac{2 i}{3 + 8 i} \cdot \frac{3 - 8 i}{3 - 8 i})$

Schritt 1.6

Multipliziere.

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Schritt 1.6.1

Kombinieren.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i (3 - 8 i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{2 i \cdot 3 + 2 i (- 8 i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i + 2 i (- 8 i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.3

Multipliziere $2 i (- 8 i)$ .

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Schritt 1.6.2.3.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 i i}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 (i^{1} i)}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 (i^{1} i^{1})}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 i^{1 + 1}}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 i^{2}}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.2.4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i - 16 \cdot - 1}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.4.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i + 16}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.2.5

Stelle $6 i$ und $16$ um.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{(3 + 8 i) (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.3.1

Multipliziere $(3 + 8 i) (3 - 8 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{3 (3 - 8 i) + 8 i (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 8 i) + 8 i (3 - 8 i)}$

Schritt 1.6.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 8 i) + 8 i \cdot 3 + 8 i (- 8 i)}$

Schritt 1.6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.6.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 + 3 (- 8 i) + 8 i \cdot 3 + 8 i (- 8 i)}$

Schritt 1.6.3.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 8 i \cdot 3 + 8 i (- 8 i)}$

Schritt 1.6.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i + 8 i (- 8 i)}$

Schritt 1.6.3.2.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 i i}$

Schritt 1.6.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 (i^{1} i)}$

Schritt 1.6.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 1.6.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 i^{1 + 1}}$

Schritt 1.6.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 24 i + 24 i - 64 i^{2}}$

Schritt 1.6.3.2.9

Addiere $- 24 i$ und $24 i$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 + 0 - 64 i^{2}}$

Schritt 1.6.3.2.10

Addiere $9$ und $0$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 64 i^{2}}$

Schritt 1.6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 - 64 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.3.3.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{9 + 64}$

Schritt 1.6.3.4

Addiere $9$ und $64$ .

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16 + 6 i}{73}$

Schritt 1.7

Zerlege den Bruch $\frac{16 + 6 i}{73}$ in zwei Brüche.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - (\frac{16}{73} + \frac{6 i}{73})$

Schritt 1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{16}{73} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 2

Um $- \frac{2}{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{2}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{16}{73} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 3

Um $- \frac{16}{73}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{2}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{16}{73} \cdot \frac{13}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $949$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{13}$ mit $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{13 \cdot 73} - \frac{16}{73} \cdot \frac{13}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $13$ mit $73$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{949} - \frac{16}{73} \cdot \frac{13}{13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{16}{73}$ mit $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{949} - \frac{16 \cdot 13}{73 \cdot 13} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $73$ mit $13$ .

$- \frac{2 \cdot 73}{949} - \frac{16 \cdot 13}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \cdot 73 - 16 \cdot 13}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $73$ .

$\frac{- 146 - 16 \cdot 13}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $13$ .

$\frac{- 146 - 208}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $208$ von $- 146$ .

$\frac{- 354}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i}{13} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 8

Um $\frac{3 i}{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{6 i}{73}$

Schritt 9

Um $- \frac{6 i}{73}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i}{13} \cdot \frac{73}{73} - \frac{6 i}{73} \cdot \frac{13}{13}$

Schritt 10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $949$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{3 i}{13}$ mit $\frac{73}{73}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{13 \cdot 73} - \frac{6 i}{73} \cdot \frac{13}{13}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $13$ mit $73$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{949} - \frac{6 i}{73} \cdot \frac{13}{13}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{6 i}{73}$ mit $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{949} - \frac{6 i \cdot 13}{73 \cdot 13}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $73$ mit $13$ .

$- \frac{354}{949} + \frac{3 i \cdot 73}{949} - \frac{6 i \cdot 13}{949}$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{354}{949} + \frac{141 i}{949}$