Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Schritt 1

Berechne $\tan (112.5)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\tan (112.5)$ ist $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $112.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

Schritt 2.1.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.7

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.15

Vereinfache.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ an.

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

Schritt 2.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ als $3 + 2 \sqrt{2}$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ als ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 2.9

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 + 2 \sqrt{2}$ und $- 4$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ heraus.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 + 2 \sqrt{2}$ und $- 2$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2$ aus $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ heraus.

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

Schritt 9.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

Schritt 10

Schreibe $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ als $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ um.

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

Schritt 11

Mutltipliziere $0.60355339$ mit $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- (- 1 \cdot 0.5)$

Schritt 12

Multipliziere $- (- 1 \cdot 0.5)$ .

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5$ .

$- - 0.5$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.5$ .

$0.5$