Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (4 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (4 x) = 1$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (4 x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (4 x) = \pm 1$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (4 x) = 1$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (4 x) = - 1$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (4 x) = 1, - 1$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (4 x) = 1$

$\sin (4 x) = - 1$

Schritt 6

Löse in $\sin (4 x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (1)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Schritt 6.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 2$ .

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Schritt 6.5.1.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$4 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 6.5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 \cdot π$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Schritt 6.6

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 6.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 6.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 6.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 6.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (4 x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (- 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - \frac{π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - \frac{π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Schritt 7.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 7.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{3 π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{3 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 7.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 7.5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 7.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.5.3.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.5.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Schritt 7.6

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 7.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 7.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 7.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 7.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 7.7

Addiere $\frac{π}{2}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.7.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu $- \frac{π}{8}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

Schritt 7.7.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

Schritt 7.7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

Schritt 7.7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 7.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

Schritt 7.7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

Schritt 7.7.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{8}$

Schritt 7.7.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{8}$

Schritt 7.8

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , für jede Ganzzahl $n$