Trigonometrie Beispiele

$\cos (105) \sin (75)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (105)$ ist $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (75) \sin (75)$

Schritt 1.2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \cos (30 + 45) \sin (75)$

Schritt 1.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (75)$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (75)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\sin (75)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30 + 45)$

Schritt 2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.10

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.12

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Schritt 4.2.1.12.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Schritt 4.2.1.13

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Schritt 4.2.1.13.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Schritt 4.2.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Schritt 4.2.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{0 - 2 + 6}{16}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- \frac{- 2 + 6}{16}$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 2$ und $6$ .

$- \frac{4}{16}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{4 (1)}{16}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$