Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Schritt 5.2

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Schritt 5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8}$

Schritt 5.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8}$

Schritt 5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{8}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{3} + 2$ und $8$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8}$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)}$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Dezimalform:

$0.68301270 \dots$