Trigonometrie Beispiele

$\cot (22.5)$

Schritt 1

Schreibe $22.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cot (\frac{45}{2})$

Schritt 2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$\frac{1}{\tan (\frac{45}{2})}$

Schritt 3

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Schritt 4

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kotangens im ersten Quadranten positiv ist.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Schritt 5

Vereinfache $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Schritt 5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.9

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.10

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.10.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.10.4

Schreibe $- \sqrt{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.10.5

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.10.6

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.5

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 5.3.12.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.12.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Schritt 5.3.12.8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Schritt 5.3.13

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.14

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - 4 \sqrt{2}$ und $2$ .

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Schritt 5.3.15.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5.3.15.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Schritt 5.3.15.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Schritt 5.3.15.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.15.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Schritt 5.3.15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Schritt 5.3.15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Schritt 5.3.15.4.4

Dividiere $3 - 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Dezimalform:

$2.41421356 \dots$