Trigonometrie Beispiele

$\sec (- 315)$

Schritt 1

Schreibe $- 315$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sec (\frac{- 630}{2})$

Schritt 2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (\frac{- 630}{2})$ an.

$\frac{1}{\cos (\frac{- 630}{2})}$

Schritt 3

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (- 630)}{2}}}$

Schritt 4

Ändere $\pm$ zu $+$ , da der Sekans im ersten Quadranten positiv ist.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (- 630)}{2}}}$

Schritt 5

Vereinfache $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (- 630)}{2}}}$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Addiere volle Umdrehungen von $360$ °, bis der Winkel zwischen $0$ ° und $360$ ° ist.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (90)$ ist $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}}$

Schritt 5.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Schritt 5.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Schritt 5.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Schritt 5.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Schritt 5.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Schritt 5.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 5.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 5.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 5.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 5.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 5.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}$

Schritt 5.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.6.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.7.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{2}$

Dezimalform:

$1.41421356 \dots$