Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 6

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.2

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Schritt 7.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Schritt 7.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 7.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 7.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Schritt 7.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{3} - 2$ und $8$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Schritt 8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Dezimalform:

$0.18301270 \dots$