Trigonometrie Beispiele

$\sin (75) \cos (15)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (75)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (30 + 45) \cos (15)$

Schritt 1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (15)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (15)$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \cos (15)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \cos (15)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

Schritt 1.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

Schritt 1.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

Schritt 1.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (15)$

Schritt 1.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cos (15)$

Schritt 1.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cos (15)$

Schritt 1.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cos (15)$

Schritt 1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (15)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (45 - 30)$

Schritt 2.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (45 - (30))$

Schritt 2.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Schritt 2.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4

Multipliziere $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.11

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 5.1.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Schritt 5.1.14

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{12}}{16}$

Schritt 5.1.15

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{4 (3)}}{16}$

Schritt 5.1.15.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Schritt 5.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 5.2

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 6 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Dezimalform:

$0.93301270 \dots$