Trigonometrie Beispiele

$\sec (2 \arctan (x))$

Schritt 1

Expand sec(2x).

$\frac{1}{\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (\arctan (x))$ und $b = \sin (\arctan (x))$ .

$\frac{1}{(\cos (\arctan (x)) + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, x)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arctan (x))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 2.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.4

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 2.2.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.6.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.8

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} + x \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

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Schritt 2.2.8.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.8.2

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $x \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} x}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.8.3

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} x$ heraus.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.9

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 2.2.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.11.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Schritt 2.2.12

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}$

Schritt 2.2.13

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))}$

Schritt 2.2.14

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.14.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}$

Schritt 2.2.14.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}$

Schritt 2.2.14.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}$

Schritt 2.2.14.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}$

Schritt 2.2.14.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}$

Schritt 2.2.14.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 2.2.14.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

Schritt 2.2.14.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

Schritt 2.2.14.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}$

Schritt 2.2.14.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.14.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}$

Schritt 2.2.14.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}$

Schritt 2.2.14.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}$

Schritt 2.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.2.16

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

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Schritt 2.2.16.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.2.16.2

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $- x \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} (- x)}{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.2.16.3

Faktorisiere $\sqrt{1 + x^{2}}$ aus $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} (- x)$ heraus.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 - x)}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x) (\sqrt{1 + x^{2}} (1 - x))}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Potenziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x^{2})}}$

Schritt 5.2

Potenziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{1}}}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)$ heraus.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

Schritt 7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{1 + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$