Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (y))$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$x \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Schritt 2.2

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$x y + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Schritt 2.3

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x y + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Schritt 2.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (y))$

Schritt 2.6

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ , $(y, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (y)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (y))$ $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 2.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Schritt 2.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 2.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + y) (1 - y)}$