Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{11 x}{2}) + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (11 x)}{2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - \cos (11 x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (11 x)} \sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} + \sin (\frac{7 x}{2})$

Schritt 1.6

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (7 x)}{2}}$

Schritt 1.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - \cos (7 x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.9.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (7 x)} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (7 x)) \cdot 2}}{2}$

Schritt 2

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (11 x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (7 x)) \cdot 2}}{2}$ um.

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (11 x))}}{2} \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (7 x))}}{2}$