Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 \arccos (x))$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

Schritt 2.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Schritt 2.6

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 2.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 2.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Schritt 2.7.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Schritt 2.7.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Schritt 2.7.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Schritt 2.7.3

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Schritt 2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Schritt 2.10

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Schritt 3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$