Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (\frac{5 π}{12}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{12})$ ist $2 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{4})} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 1.1.7.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.1.2

Kombinieren.

$\frac{\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.7.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.9

Vereinfache.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.10.2

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.10.3

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.11

Schreibe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.12

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.7.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.13.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 1.1.7.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.14.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.7.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{1} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.7.14.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{5 π}{12}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{12})$ ist $2 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{4})} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Schritt 2.1.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 2.1.7.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.7.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.9

Vereinfache.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.10.2

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.10.3

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.11

Schreibe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.12

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.7.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.7.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.13.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 2.1.7.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.14.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.7.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.7.14.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - (2 + \sqrt{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 + (- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) \cdot 1}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.6

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{3 + \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 + \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})}{(- 1 - \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- 1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 + 3 \sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\frac{- 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Schritt 5.2.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Schritt 5.2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{0 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2.3

Addiere $0$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 6.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 6.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$- \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 1.73205080 \dots$