Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

${(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Schritt 1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Schritt 1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ an.

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Schritt 2.3

Schreibe ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ als $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ um.

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 3

Multipliziere $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.9

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Schritt 4.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.10

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.13

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 4.1.13.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 4.1.13.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 4.1.13.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Schritt 4.1.13.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Schritt 4.1.13.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Schritt 4.1.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Schritt 4.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Schritt 4.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 4.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 4.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Schritt 4.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Schritt 4.2

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Schritt 5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Dezimalform:

$0.06698729 \dots$