Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\tan (30)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (30)}$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{6} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 (2)} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.2

Multipliziere $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{6}$

Schritt 7.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 7.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 7.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 7.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 7.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 7.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{1}}{6}$

Schritt 7.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{6}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3}{6}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{3} - 3$ und $6$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) - 3}{6}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)}{6}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{6}$

Schritt 7.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 (2)}$

Schritt 7.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1)}{2}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - - 1}{2}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}{2}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 2 \sqrt{3}$ und $2$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3})}{2}$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Schritt 10.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (1)}$

Schritt 10.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 10.3.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$