Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \csc (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 2.3

Multipliziere $2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $2$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{2}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Addiere Brüche.

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Schritt 3.1

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2

Um $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6

Addiere $- {\cos (x)}^{2}$ und $2 {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 7

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

Schritt 8

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 8.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + \cot (x)$

Schritt 8.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

Schritt 8.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 10

Addiere Brüche.

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Schritt 10.1

Um $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 10.2.2

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 11

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 12

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung