Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{π}{2} - x) \tan (x) = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan (\frac{π}{2} - x) \tan (x)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (\frac{π}{2} - x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)} \tan (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - x) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2} - x) \cos (x)}$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{(\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2} - x) \cos (x)}$

Schritt 4

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{(\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{(1 \cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{(\cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{(\cos (x) - 0 \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{(\cos (x) + 0 \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + 0) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.1.6

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 + 1 \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 + \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 5.2.5

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (\frac{π}{2} - x) \tan (x) = 1$ ist eine Identitätsgleichung