Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \cos (x - y) - \cos (x) \sin (x - y) = \sin (y)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin (x) \cos (x - y) - \cos (x) \sin (x - y)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\sin (x) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \cos (x) \sin (x - y)$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\sin (x) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y)) - \cos (x) (- \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $- \cos (x) (- \cos (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + 1 \cos (x) (\cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (\cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y)$

Schritt 4.1.4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y)$

Schritt 4.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y)$

Schritt 4.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$ .

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Schritt 4.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sin (x) \cos (x) \cos (y)$ und $- \cos (x) \sin (x) \cos (y)$ neu an.

$\cos (x) \cos (y) \sin (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y) \sin (x) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $\cos (x) \cos (y) \sin (x)$ von $\cos (x) \cos (y) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) \sin (y) + 0 + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Schritt 4.2.3

Addiere $\sin^{2} (x) \sin (y)$ und $0$ .

$\sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Schritt 4.3

Faktorisiere $\sin (y)$ aus $\sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $\sin (y)$ aus $\sin^{2} (x) \sin (y)$ heraus.

$\sin (y) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $\sin (y)$ aus $\cos^{2} (x) \sin (y)$ heraus.

$\sin (y) \sin^{2} (x) + \sin (y) \cos^{2} (x)$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $\sin (y)$ aus $\sin (y) \sin^{2} (x) + \sin (y) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin (y) (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 4.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (y) \cdot 1$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\sin (y)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (x) \cos (x - y) - \cos (x) \sin (x - y) = \sin (y)$ ist eine Identitätsgleichung