Trigonometrie Beispiele

$\sec (2 x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{2 - \sec^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{2 - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{2 - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{2 - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} \frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2} \frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.5

Kombiniere ${\cos (x)}^{2}$ und $\frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2} - 1)}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\cos (2 x)}$ als $\sec (2 x)$ um.

$\sec (2 x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec (2 x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung